调和锯齿映射的积分变换、Riemann Zeta 函数、分形弦及有限反射公式

定义了单位区间到其自身的调和锯齿映射 w(x)，并表明其不动点由涉及黄金分割比的生成函数枚举。w(x) 的适当缩放 Mellin 变换是 Riemann zeta 函数 ${\zeta}(s)$ 的解析延拓，对所有 -Re(s) 非整数有效。使 w(x) 的 Mellin 变换等于 zeta 函数的逆缩放函数的级数展开，其系数枚举了 Large Schroder 数 $S_n$，即 n 个正方形三角形网格中的完美匹配数。考察了对的有限和近似，并发现了一个相关函数可求解反射公式。反射函数在 s = 0 处奇异，且该点的留数在 N = 176 和 N = 177 之间由负变正。回顾了 Gauss 映射 h(x)，以便将其不动点和 Mellin 变换与 w(x) 的进行对比。与调和锯齿映射分量长度相关的分形弦的几何计数函数，恰好与形式为 {(a,b,b+1):(b+1)<=x} 的 Pythagorean 三角形数量的计数函数一致。证明了半径为 {\epsilon} 的映射边界内部管状邻域的体积具有特别简单的闭式表达。此外，证明了 Minkowski 容度为 2，Minkowski 维数为 1/2，因此不可逆。文中还回顾了分形弦和膜理论中的一些定义。