具有唯一双重拉普拉斯特征值的整拉普拉斯图，I

集合 $S_{i,n}=\{0,1,2,\ldots,n-1,n\}\setminus\{i\}$，$1\leqslant i\leqslant n$ 若存在无向简单图其拉普拉斯谱为 $S_{i,n}$，则称为拉普拉斯可实现的。此类图的存在性由 S. Fallat 等人于 2005 年确立。本文中，我们研究拉普拉斯谱形如 $$S_{\{i,j\}_{n}^{m}}=\{0,1,2,\ldots,m-1,m,m,m+1,\ldots,n-1,n\}\setminus\{i,j\},\qquad 0<i<j\leqslant n,$$ 的图，并完整刻画其中 $m=n-1$ 与 $m=n$ 的情形。我们还展示了实现 $S_{i,n}$ 与 $S_{\{i,j\}_{n}^{m}}$ 的图之间的紧密关系，并讨论了所谓的 $S_{n,n}$-猜想及 $S_{\{i,n\}_{n}^{m}}$ 的相应猜想。