积分基、完美匹配与佩特森图

设 $G=(V,E)$ 为一个被匹配覆盖的图，记其完美匹配多面体为 $P$，由 $P$ 中的整数点生成的整数格为 $L$。本文给出两条由 Lovász (1987) 以及 Carvalho、Lucchesi 和 Murty (2002) 在三部论文中（共计超过120页）所证明的两个困难结果的简短、多面体证明。具体而言，我们证明 $L$ 具有由 $G$ 中某些完美匹配的位向量组成的格基；以及对所有 $x\in \mathrm{lin}(P)\cap \mathbb{Z}^E$，都有 $2x\in L$；若 $G$ 无佩特森砖，则 $L = \mathrm{lin}(P)\cap \mathbb{Z}^E$。我们的证明避免了前述证明中主要的技术细节，最重要的是对偶格的描述以及针对被匹配覆盖图的“以佩特森砖为敏感”的耳分解结果。这通过对多面体 $P$ 的面部结构及其与格 $L$ 之间关系的新颖研究实现。文中还基于对佩特森图的首次多面体描述。