整数二次型与线性无关根子集的扩张

我们考虑根系 $\varPhi$ 中线性无关根子的子集。设 $S'$ 为此类子集，关联任意 Carter 图 $\Gamma'$。论文的主要问题：可以向 $S'$ 中添加哪些根 $\gamma \in \varPhi$，使得 $S' \cup \gamma$ 仍为线性无关根子的子集？此额外根 $\gamma$ 称为链接根。向量 $\gamma^{\nabla} := \{(\gamma,\ \tau'_i)\mid \tau'_i \in S'\}$ 称为链接标签向量。设 $B_{\Gamma'}$ 为关联 $\Gamma'$ 的 Cartan 矩阵。我们证明 $\gamma$ 为链接根当且仅当 $\mathscr{B}^{\vee}_{\Gamma'}(\gamma^{\nabla}) < 2$，其中 $\mathscr{B}^{\vee}_{\Gamma'}$ 为具有矩阵 $B_{\Gamma'}$ 逆矩阵的二次型。$\mathscr{L}(\Gamma')$ 中所有链接根的集合称为链接系统，记作 $\mathscr{L}(\Gamma')$。与 Carter 图 $\Gamma'$ 关联的 Cartan 矩阵与某个 Dynkin 图 $\Gamma$ 关联的 Cartan 矩阵共轭 [St23]。$\mathscr{L}(\Gamma')$ 与 $\mathscr{L}(\Gamma)$ 的大小相同。设 $W^{\vee}$ 为二次型 $\mathscr{B}^{\vee}_{\Gamma'}$ 的 Weyl 群。该群作用于链接系统并形成若干轨道。我们给出链接系统 $\mathscr{L}(D_l)$ 和 $\mathscr{L}(D_l(a_k))$ 的轨道大小及结构。