根系、对称性与阿廷群线性表示

设$\Gamma$为考克斯特图，令$W$为其相伴考克斯特群，并令$G$为$\Gamma$的一个对称群。回顾由H{\'e}e与M"uhlherr的定理，$W^G$是相伴于某考克斯特图$\hat \Gamma$的考克斯特群。我们以$\Phi^+$记$\Gamma$的正根系，以$\hat \Phi^+$记$\hat \Gamma$的正根系。令$E$为域$\K$上的向量空间，具有与$\Phi^+$一一对应的基。$G$在$\Gamma$上的作用诱导出$G$在$\Phi^+$上从而也在$E$上的作用。我们证明$E^G$包含一个与$\hat \Phi^+$自然一一对应的线性无关向量族，并确切判定该向量族何时为$E^G$的基。此问题由非单套阿廷群的Krammer型线性表示的构造所驱动。