根系的双扭二次折叠与 Schubert 类的提升

给定有限晶体根系统 $\Phi$，其 Dynkin 图具有非平凡自同构，则通过所谓的经典折叠产生新根系统 $\Phi_{\tau}$。另一方面，Lusztig 的折叠（1983）从 $E_8$ 型根格的自同构出发，将 $E_8$ 型根系统折叠为 $H_4$。Lanini-Zainoulline（2018）引入了根系统的双扭二次折叠概念，以在同一框架下描述经典折叠与 Lusztig 折叠。与有限根系统及其反射群 $W$ 关联的矩图 $\mathcal{G}$ 的结构代数 $\mathcal{Z}(\mathcal{G})$ 是某多项式环 $\mathcal{S}$ 上的代数，其底层模自由且具有称为组合 Schubert 类的特殊基 $\{\sigma^{(w)} \mid w \in W\}$。由 Lanini-Zainoulline（2018），双扭二次折叠 $\Phi \rightsquigarrow \Phi_{\tau}$ 诱导相应 Coxeter 群的嵌入 $\varepsilon: W_{\tau} \hookrightarrow W$ 以及对应结构代数间的环同态 $\varepsilon^*: \mathcal{Z}(\mathcal{G}) \rightarrow \mathcal{Z}(\mathcal{G}_{\tau})$。本文研究 Schubert 类的 $\varepsilon^*$-原像，并给出 $\mathcal{Z}(\mathcal{G}_{\tau})$ 的 Schubert 类 $\sigma^{(u)}_{\tau}$ 容许 $\mathcal{Z}(\mathcal{G})$ 的 Schubert 类 $\sigma^{(w)}$ 使得关系 $\varepsilon^*(\sigma^{(w)}) = c \cdot \sigma^{(u)}_{\tau}$ 对某个非零标量 $c$ 成立的组合判据。