单纯复合体之间的（注入）facet 复杂度

我们提出了 facet-complexity 的概念，即 $\text{C}(\mathsf{L};\mathsf{K})$，用于两个单纯复合体 $\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{K}$，并给出该数值不变式的基本结果。该不变式 $\text{C}(\mathsf{L};\mathsf{K})$ 量化了以下问题的复杂度：是否存在单纯映射 $\mathsf{L}\to \mathsf{K}$？单纯映射是指保持非单位 facet 的单纯映射。类似地，我们引入了注入 facet-complexity 的概念，即 $\text{IC}(\mathsf{L};\mathsf{K})$。这些不变式推广了 Zapata 等人最近引入的图之间的（注入） hom-complexity 的概念。我们展示了（注入）facet-complexity 满足三角不等式，并表明其为单纯复合体不变式。此外，这些不变式提供了单纯映射存在的阻止因素。我们探讨了（注入）facet-complexity 的亚加性，并给出其以染色数为下界。此外，我们给出 $\mathrm{C}(\mathsf{L};\mathsf{H})$ 的上界，依据 $L$ 的 facet 数。最后，我们在 $\mathsf{L}$ 为纯单纯复合体且 $K$ 为完全单纯复合体时，给出 $\mathrm{IC}(\mathsf{L};\mathsf{K})$ 的公式。