小余维数子流形上秩二向量丛的无穷小扩张

设$X$为复射影空间$\mathbb P^N$中维数为$n$的子流形（$n<N$），$E$为$X$上的秩二向量丛。若$n\geq\frac{N+3}{2}\geq 4$，我们证明了$E$扩张到$X$在$\mathbb P^N$中一阶无穷小邻域上的向量丛存在的几何判据，该判据用$Y\subset X\subset\mathbb P^N$的法丛序列的分裂来表示，其中$Y$是$E$的高次扭转的一般截面的零点集。在最后一节中，我们证明了嵌入任意射影空间$\mathbb P^N$中的 Grassmann 簇$\mathbb G(k,m)$（即$\mathbb P^m$中$k$维线性子空间的簇，其中$m\geq 3$且$1\leq k\leq m-2$，即$\mathbb G(k,m)$不是射影空间）上的通用商向量丛，不能作为向量丛扩张到$\mathbb G(k,m)$在$\mathbb P^N$中的一阶无穷小邻域。