$p$-进Hurwitz型Euler zeta函数满足的无穷阶线性微分方程

1900年，在国际数学家大会上，Hilbert断言Riemann zeta函数$\zeta(s)$在其解析区域内不是任何代数常微分方程的解。2015年，Van Gorder考虑了$\zeta(s)$是否满足非代数微分方程的问题，并证明其形式地满足一个无穷阶线性微分方程。近来，Prado和Klinger-Logan将Van Gorder的结果推广，证明Hurwitz zeta函数$\zeta(s,a)$也形式地满足类似的微分方程\begin{equation*}\label{HurDE} T\left[\zeta (s,a) - \frac{1}{a^s}\right] = \frac{1}{(s-1)a^{s-1}}. \end{equation*} 但不幸的是，在同一篇论文中他们证明了算子$T$作用于Hurwitz zeta函数$\zeta(s,a)$在复平面$\mathbb{C}$上任何点都不收敛。本文通过定义$T_{p}^{a}$（Van Gorder算子$T$的$p$-进类比），建立了由$\zeta_{p,E}(s,a)$满足的Prado和Klinger-Logan微分方程的类比，其中$\zeta_{p,E}(s,a)$是Hurwitz型Euler zeta函数\begin{equation*}\label{HEZ} \zeta_E(s,a)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+a)^s}. \end{equation*} 的$p$-进类比。与复情形相反，由于非阿基米德性质，算子$T_{p}^{a}$作用于$p$-进Hurwitz型Euler zeta函数$\zeta_{p,E}(s,a)$在$s\in\mathbb{Z}_{p}$且$s\neq 1$、$a\in K$且$|a|_{p}>1$的区域内是$p$-进收敛的，其中$K$是$\mathbb{Q}_{p}$的任意有限扩张，其对$\mathbb{Q}_{p}$的分歧指数小于$p-1$。