具有指定哈密顿压缩的顶点的可递图的无限族

给定带哈密顿圈 $C$ 的图 $X$，$C$ 的压缩因子 $\kappa(X,C)$ 定义为 $\operatorname{Aut}(C)\cap\operatorname{Aut}(X)$ 的最大循环子群的阶，而 $X$ 的哈密顿压缩 $\kappa(X)$ 是当 $C$ 取遍 $X$ 中所有哈密顿圈时 $\kappa(X,C)$ 的最大值。推广关于是否存在无哈密顿路径/圈的顶点的可递图的著名开放问题，Gregor、Merino 与 Mütze 在 [“高对称图的哈密顿压缩”，arXiv 预印本 arXiv:2205.08126v1 (2022)] 中提问：对每个正整数 $k$，是否存在无限多个哈密顿压缩等于 $k$ 的顶点的可递图（Cayley 图）。由于该文已给出哈密顿压缩等于 $1$ 的 Cayley 图的无限族，本文通过构造半直积 $\mathbb{Z}_p\rtimes\mathbb{Z}_k$ 的 Cayley 图（其中 $p$ 为素数，$k \geq 2$ 为 $p-1$ 的因子）完全解决了 Cayley 图情形下的该问题。此外，给出了哈密顿压缩等于 $1$ 的非 Cayley 顶点的可递图的无限族。这些图均为亚循环图，文中还给出了关于特定阶亚循环图哈密顿压缩的一些附加结果。