大色数图的诱导子图。V. 吊灯与弦
组合数学
2021-05-24 v3
摘要
众所周知，每个具有足够大色数和有界团数的图，作为诱导子图，包含任意固定森林的细分，以及任意固定圈的细分。等价地，森林和三角形是普遍存在的，其中若对所有 s>0，某类图中每个具有有界团数和足够大色数的图都包含 H 的诱导细分，且每条边至少被细分 s 次，则称 H 在该类图中是普遍存在的。还有哪些图是普遍存在的？Chalopin, Esperet, Li 和 Ossona de Mendez 证明了每个这样的图都是灯笼森林：粗略地说，块是灯笼（通过给树添加一个额外顶点得到的图），并且关于块如何组合有规则。是否每个灯笼森林都是普遍存在的尚属未知；但在另一篇论文中，我们中的两人证明了香蕉树（通过添加平行边从森林得到的多重图）是普遍存在的，从而推广了上述两个结果。本文包含证明的前半部分，它适用于任意灯笼森林，而不仅仅是香蕉树。若对某类图，其中每个图的色数至多是图中 r-球的最大色数的某个函数（由该类决定），则称该类图是 r-受控的。在本文中，我们证明了对所有 r>1，每个灯笼森林在每个 r-受控类中都是普遍存在的。这些结果应用于弦图（平面中曲线集的交图）时显得尤为优美。吊灯图是通过添加一个与树的所有叶子相邻的顶点而从树得到的图。我们证明了弦图类是 2-受控的，因此灯笼森林在该类中是普遍存在的。此外，具有足够大色数和有界团数的弦图包含任意固定的吊灯图作为诱导子图。
引用
@article{arxiv.1609.00314,
title = {Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. V. Chandeliers and strings},
author = {Maria Chudnovsky and Alex Scott and Paul Seymour},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.00314},
year = {2021}
}