强耦合下 Polaron 测度的辨识与 Pekar 变分公式

量子统计力学中出现的 Fr"ohlich Polaron 对应的路径测度定义为倾斜测度 $$\widehat{\mathbb P}_{\varepsilon,T}= \frac{1}{Z(\varepsilon,T)}\exp\bigg(\frac{1}{2}\int_{-T}^T\int_{-T}^T \frac{\varepsilon\mathrm e^{-\varepsilon |t-s|}}{|\omega(t)-\omega(s)|} \mathrm d s \,\mathrm d t\bigg)\mathrm d\mathbb P.$$ 这里 $\varepsilon>0$ 是 Kac 参数（或逆耦合），$\mathbb P$ 是 $3d$ Brownian 增量的定律。在 [13] 中已证明（热力学）极限 $\lim_{T\to\infty}\widehat{\mathbb P}_{\varepsilon,T}=\widehat{\mathbb P}_\varepsilon$ 作为具有平稳增量的过程存在，并且该极限被明确辨识为高斯过程的混合。在本文中，研究了强耦合极限或 Kac 参数消失极限 $\lim_{\varepsilon\to 0} \widehat{\mathbb P}_\varepsilon$。我们证明该极限存在并与 Pekar 过程的增量一致，Pekar 过程是一个平稳扩散过程，其生成元为 $\frac 12 \Delta+ (\nabla\psi/\psi)\cdot \nabla$，其中 $\psi$ 是 Pekar 变分问题 $$g_0=\sup_{\|\psi\|_2=1} \Big\{\int_{\mathbb R^3}\int_{\mathbb R^3}\,\psi^2(x) \psi^2(y)|x-y|^{-1}\mathrm d x\mathrm d y -\frac 12\|\nabla \psi\|_2^2\Big\}.$$ 的唯一（模平移）极大元。如 [12,6,1] 所示，Pekar 过程本身被极限“平均场 Polaron 测度”逼近，因此，本文对强耦合 Polaron 的辨识是对 Spohn 在 [15] 中猜想的“平均场近似”（在路径测度层面）的严格证明。在 Kac 极限消失 ($\varepsilon\to 0$) 下，该近似也被证明对一类一般的 Kac 相互作用 $H(t,x)=\varepsilon \mathrm e^{-\varepsilon|t|} V(x)$ 成立，其中 $V$ 是任意在无穷远处消失的连续函数。