冰淇淋与楔形图

最小角度 $\alpha >0$ 是多少，使得对于任意一组 $\alpha$ 定向天线（即每个天线可以沿角度为 $\alpha$ 的楔形区域进行通信），总能为每个天线分配一个方向，使得最终的通信图是连通的？这里，当且仅当两个天线各自位于对方分配的楔形区域内时，它们之间才存在一条边。该问题最近由 Carmi、Katz、Lotker 和 Ros\'en 提出 \cite{CKLR10}，他们同时找到了这样的最小 $\alpha$，即 $\alpha=\frac{\pi}{3}$。本文给出了该结果的一个简单证明。此外，我们得到了一个更强且最优的结果（见定理 \ref{theorem:main}），特别地，该结果表明可以选择天线的方向，使得通信图的直径 $\le 4$。我们的主要工具是一个出人意料的基本几何引理，该引理本身也具有独立意义。我们证明，对于平面上的任意紧凸集 $S$ 和任意 $0 < \alpha < \pi$，存在一点 $O$ 和两条经过 $O$ 且与 $S$ 相切的支撑线，这两条线分别与 $S$ 相切于两个 \emph{单点} $X$ 和 $Y$，使得 $|OX|=|OY|$ 且两条线之间的夹角为 $\alpha$。