定向天线的对称连通性

设 $P$ 为平面上的一组点，代表角度为 $a$、范围为 $r$ 的定向天线。位于点 $p$ 的天线的覆盖区域是一个角度为 $a$、半径为 $r$ 的圆形扇区，其方向可调。对于给定的方向分配，$P$ 的诱导对称通信图 (SCG) 是一个无向图，当且仅当 $v$ 位于 $u$ 的扇区内且 $u$ 位于 $v$ 的扇区内时，该图包含边 $(u,v)$。本文探讨的问题是：对于角度为 $a$、范围无界的 $n=n(a)$ 个天线，是否存在一个最小的角度 $a$，使得对于任意一组这样的天线，总可以为其分配方向，使得诱导的 SCG 是连通的，并且所有对应扇形的并集覆盖整个平面。我们证明该问题的答案是 $a=\pi/2$，此时 $n=4$。此外，我们证明，如果 $Q_1$ 和 $Q_2$ 是两组角度为 $\pi/2$、范围无界的天线四元组，它们被一条直线分隔，并且独立地应用上述构造，那么 $Q_1 \cup Q_2$ 的诱导 SCG 是连通的。后一个结果使我们能够局部应用该构造，并解决以下两个进一步的问题。在第一个问题中，给定一个对应于一组全向天线（范围 1）$P$ 的连通单位圆盘图 (UDG)，目标是将这些天线替换为角度为 $\pi/2$、范围为 $r=O(1)$ 的定向天线，并为其分配方向，使得诱导的 SCG 连通，并且相对于跳数距离，该 SCG 是 UDG 的一个 $O(1)$-spanner。在我们的解决方案中，$r = 14\sqrt{2}$，跨度比为 8。在第二个问题中，给定一组角度为 $\pi/2$、范围可调的定向天线 $P$。目标是为每个天线 $p$ 分配一个方向和一个范围 $r_p$，使得最终的 SCG 连通，并且最小化 $\sum_{p \in P} r_p^\beta$，其中 $\beta \ge 1$ 是一个常数。我们提出了一个 $O(1)$-近似算法。