$I$-正则性、决定性及实数的 $\infty$-Borel 集

Daisuke Ikegami

$I$-正则性、决定性及实数的 $\infty$-Borel 集

逻辑 2021-08-20 v2

作者: Daisuke Ikegami

摘要

我们在 $\sf{ZF} + \sf{DC} + \sf{AD}_{\mathbb{R}}$ 下证明：对于 Baire 空间 $\omega^{\omega}$ 上任意满足 $\mathbb{P}_I$ 为 proper 的 $\sigma$ -理想 $I$ ，每个实数集都是 $I$ -正则的。这回答了 Khomskii 的问题。我们还证明，在 $\sf{ZF} + \sf{DC} + \sf{AD}^+$ 下，若额外假设 $I$ -正集的 Borel 编码集为 $\mathbf{\Delta}^2_1$ ，则同样的结论成立。若不加 $\sf{DC}$ ，正如 Asperó 和 Karagila 所指出的，properness 的概念会变得模糊。利用类似于 Bagaria 和 Bosch 引入的强 properness 概念，我们在不使用 $\sf{DC}$ 的 $\sf{ZF} + \sf{DC}_{\mathbb{R}}$ 下证明：假设每个实数集都是 $\infty$ -Borel 且不存在 distinct reals 的 $\omega_1$ -序列，则对于 Baire 空间 $\omega^{\omega}$ 上任意满足 $\mathbb{P}_I$ 为强 proper 的 $\sigma$ -理想 $I$ ，每个实数集都是 $I$ -正则的。特别地，同样的结论在 Solovay 模型中成立。

关键词

$I$-正则性决定性 $\infty$-Borel 集 $\sigma$-理想 proper 力迫 Solovay 模型实数集

引用

@article{arxiv.2108.06632,
  title  = {$I$-regularity, determinacy, and $\infty$-Borel sets of reals},
  author = {Daisuke Ikegami},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2108.06632},
  year   = {2021}
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$I$-正则性、决定性及实数的 $\infty$-Borel 集

摘要

关键词

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