图直积的超双曲性

设 $X$ 为一个测地度量空间，$x_1,x_2,x_3\in X$。一个**测地三角形** $T=\{x_1,x_2,x_3\}$ 是 $X$ 中三条测地线 $[x_1x_2]$、$[x_2x_3]$ 和 $[x_3x_1]$ 的并集。若对 $X$ 中的任意测地三角形 $T$，其任意一边都包含于其余两边并集的 $\delta$-邻域内，则称空间 $X$ 是 $\delta$-**双曲的**（Gromov 意义下）。若 $X$ 是双曲的，我们记其尖锐双曲性常数为 $\delta(X)$，即 \delta(X)=\inf\{\delta\ge 0: \, X \, \text{是 \delta-双曲的}\}. 一些先前工作刻画了双曲积图（关于笛卡尔积、强积、联结积、冠积和字典积）的性质与因子图之间的关系。然而，关于直积的问题更为复杂。本文证明，若直积 $G_1\times G_2$ 是双曲的，则其中一个因子是双曲的，另一个是有界的。我们还证明，这一必要条件在许多情况下实际上构成刻画。在其他情况下，我们得到了不那么简单的刻画。此外，我们给出了一些重要图的直积的双曲性常数的公式或良好界。