关于线图双曲常数的新不等式

如果 $X$ 是一个测地度量空间且 $x_1,x_2,x_3\in X$，则 {\it 测地三角形} $T=\{x_1,x_2,x_3\}$ 是 $X$ 中三条测地线 $[x_1x_2]$、$[x_2x_3]$ 和 $[x_3x_1]$ 的并集。如果对于 $X$ 中的每个测地三角形 $T$，其任意一边都包含在另外两边并集的 $\delta$-邻域内，则称空间 $X$ 是 $\delta$-\emph{双曲的}（在 Gromov 意义下）。我们将 $X$ 的尖锐双曲常数记为 $\delta(X)$，即 \delta(X):=\inf\{\delta\ge 0: \, X \, \text{ is \delta-hyperbolic}\,\}\, 。本文的主要结果是对于任意图 $G$ 的线图 $\mathcal L(G)$，不等式 $\delta(G) \le \delta(\mathcal L(G))$ 成立。我们还证明了上界 $\delta(\mathcal L(G)) \le 5 \delta(G)+ 3 l_{max}$，其中 $l_{max}$ 是 $G$ 的边长的上确界。此外，如果 $G$ 的每条边长度均为 $k$，我们得到 $\delta(G) \le \delta(\mathcal L(G)) \le 5 \delta(G)+ 5k/2$。