双曲拼图与伪模群族 II

在我们之前的论文中，我们引入了双曲拼图构造，并构造了无穷多个互不连带、非一致、非算术的 $\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$ 格，其尖点集为 $\mathbb{Q} \cup \{\infty\}$（被 Long 和 Reid 称为伪模群），从而回答了 Long 和 Reid 提出的一个问题。在本文中，我们继续研究这些拼图群，探讨算术性、伪模性，以及由这些群产生的相关伪欧几里得与连分数算法等问题。我们还通过给出由 Weierstrass 群导出的双曲平面镶嵌的递归公式，回答了 Long 和 Reid 的另一个问题，该公式推广了用于生成 Farey 镶嵌的著名“Farey 加法”。