作为紧量子度量空间的双曲群 C*-代数与自由积 C*-代数

设 $\ell$ 为群 G 上的长度函数,令 $M_{\ell}$ 表示 $\ell$ 在 $\bell^2(G)$ 上的逐点乘法算子。依 Connes 之法,$M_{\ell}$ 可作为 $C_r^*(G)$ 的“Dirac”算子。它定义了 $C_r^*(G)$ 上的一个 Lipschitz 半范数,从而定义了 $C_r^*(G)$ 状态空间上的一个度量。我们证明:若 G 为双曲群且 $\ell$ 为 G 上的字长函数,则此度量所诱导的拓扑与弱-* 拓扑一致(我们称此为“紧量子度量空间”的定义)。我们指出一个方便的框架是满足适当“Haagerup 型”条件的滤过 $C^*$-代数。我们也利用此框架证明了关于某些 $C^*$-代数的约化自由积的类似事实。