双曲 Coxeter 群与四维和五维中的极小增长率

对于小的 $n$，已知的极小体积紧双曲 $n$-orbifold 与极小秩的 Coxeter 群密切相关。对于 $n=2$ 和 $3$，这些 Coxeter 群由三角形群 $[7,3]$ 和四面体群 $[3,5,3]$ 给出，并且它们还因分别在 $\hbox{Isom}\mathbb H^n$ 中所有余紧双曲 Coxeter 群中具有极小增长率而著称。本文中，我们考虑 $\hbox{Isom}\mathbb H^4$ 中具有 Coxeter 符号 $[5,3,3,3]$ 的余紧 Coxeter 单形体群 $G_4$，以及 $\hbox{Isom}\mathbb H^5$ 中基于 $[5,3,3,3,3]$ 的余紧 Coxeter 棱柱群 $G_5$。这两个群均为算术群，并分别对应于 $n=4$ 和 $5$ 时极小体积算术紧双曲 $n$-orbifold 的基本群。在此，我们证明群 $G_n$ 因分别在 $n=4$ 和 $5$ 时在所有余紧作用于 $\mathbb H^n$ 的 Coxeter 群中具有最小增长率而著称。证明基于紧双曲 Coxeter 多面体的组合性质、若干部分分类结果以及相应 Coxeter 群增长率的某些单调性性质。