$k$-Göbel 序列保持整数的最长长度是多少？

受小林道夫与关真一郎的日本漫画《整数谭》（Seisu-tan）第 3 话启发，我们研究了以 Fritz Göbel 命名的 $k$-Göbel 序列 $(g_{k,n})_n$。尽管该序列一般定义为有理数，但相当多的初始项表现得如同整数序列。本文探讨了《整数谭》中提出的一个问题，并证明对任意 $k \geq 2$ 与 $0 \leq n \leq 18$，$g_{k,n}$ 恒为整数。