将 Pillai 的一个问题推广到高斯直线

设 $L$ 为一条本原高斯直线，即复平面上包含两个不同的（从而包含无穷多个）互素高斯整数的直线。我们证明存在整数 $G_L$，使得对每个整数 $n\geq G_L$，直线 $L$ 上存在无穷多个由 $n$ 个连续高斯整数组成的序列，具有如下性质：序列中没有任何一个高斯整数与所有其他高斯整数互素。我们还研究了使得 $L$ 包含具有此性质的 $g_L$ 个连续高斯整数序列的最小整数 $g_L$。我们证明一般地 $g_L\neq G_L$。此外，对每条高斯直线 $L$ 均有 $g_L\geq 7$，我们给出了 $g_L=7$ 的充要条件，并描述了无穷多条满足 $g_L\geq 260,000$ 的高斯直线。我们猜想 $g_L$ 与 $G_L$ 均可任意大。我们的结果将有理数整数中著名的 Pillai 问题推广到了高斯整数。