马蹄形先验与中偏差原理

Carvalho (2010) 为马蹄形先验建立了两个基础性定理：关于原点附近边际密度的紧致双边对数界（定理1.1），以及在稀疏情况下贝叶斯预测密度向真实抽样密度收敛的超高效速率（定理2）。“全局收缩，局部行动”论文 \citep{polson2010shrink} 形式化了当 $p \to \infty$ 时，先验在原点处的行为对于稀疏适应性而言的充分必要条件。我们证明，这些结果不仅仅是马蹄形先验的描述性性质——它们是 \citet{datta2026newlook} 的渐近中偏差原理（MDP）的有限样本前驱。对数极点奇异性 $\piH(\theta) \asymp -\log\abs{\theta}$ 正是选择MDP阈值 $\tcrit = \sqrt{\log(\pi n/2)}$ 的原点可积性边界；阈值以下的超高效和阈值以上的尾部鲁棒性共同产生了ABOS贝叶斯风险 $p_0 \log(p/p_0)/n$；而贝叶斯方法的Clarke-Barron信息论渐近性提供了一个统一框架，其中所有三个结果都是一个单一对数预算原则的不同方面。