后验收缩率与渐近贝叶斯最优性：稀疏正态均值问题中的单组收缩先验
统计理论
2025-09-19 v7 统计理论
摘要
我们考虑一个高维稀疏正态均值模型，其目标是在非零均值比例未知的情况下估计均值向量。我们使用属于一大类此类先验（包括马蹄铁先验）的单组全局-局部收缩先验对均值向量进行建模。我们解决了与该类先验的均值向量后验分布的渐近性质相关的一些问题。本文考虑了两种对全局参数建模的方式。首先将其视为未知固定参数，然后通过经验贝叶斯估计对其进行估计。在第二种方法中，我们通过为其分配一个合适的非退化先验分布来进行分层贝叶斯处理。我们首先证明，对于所研究的先验类，当使用经验贝叶斯方法时，均值向量的后验分布以接近极小极大速率收缩到真实参数。接下来，我们证明在分层贝叶斯方法中，相应的贝叶斯估计在平方误差损失函数下渐近地达到极小极大风险。我们还证明后验以接近极小极大速率收缩到真实参数。这些结果推广了van der Pas等人(2014)\cite{van2014horseshoe}和(2017)\cite{van2017adaptive}为马蹄铁先验证明的结果。本文还研究了在非零假设数量未知的情况下全局-局部收缩先验的渐近贝叶斯最优性。我们的目标是对全局参数的先验密度提出一些条件，使得决策规则引起的贝叶斯风险达到最优贝叶斯风险（最多相差一个乘法常数）。利用我们提出的条件，在Bogdan等人(2011)\cite{bogdan2011asymptotic}的渐近框架下，我们能够给出肯定的答案来满足我们的直觉。
引用
@article{arxiv.2211.02472,
title = {Posterior Contraction rate and Asymptotic Bayes Optimality for one-group shrinkage priors in sparse normal means problem},
author = {Sayantan Paul and Arijit Chakrabarti},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.02472},
year = {2025}
}