用于最优后验收缩与多重假设检验的逆 Gamma-Gamma 先验

我们研究了一个著名问题：估计一个稀疏的 $n$ 维未知均值向量 $\theta = (\theta_1, ..., \theta_n)$，其分量被高斯白噪声所污染。在贝叶斯框架中，可表示为尺度混合正态密度的连续收缩先验常用于获取 $\theta$ 的稀疏估计。在本文中，我们引入了一种新的全贝叶斯尺度混合先验，称为逆 Gamma-Gamma（IGG）先验。我们证明了在非常温和的条件下，后验分布以（近）极小极大速率收缩至真实的 $\theta$。在此过程中，我们证明了 Van der Pas 等人（2016）给出的极小极大后验收缩的充分条件对于最优后验收缩并非必要。我们进一步表明，在 Kullback-Leibler（K-L）意义下，IGG 后验密度的集中速率快于 horseshoe 或 horseshoe+。为了分类真实信号（$\theta_i \neq 0$），我们还提出了一种基于后验均值阈值的假设检验。将损失函数取为误分类检验的期望数量，我们证明了我们的检验过程渐近地精确达到最优贝叶斯风险。我们通过模拟和数据分析表明，IGG 在估计和分类方面均具有优异的有限样本表现。