维数为 $pq$ 的 Hopf 代数

设 $H$ 是特征为 0 的代数闭域上维数为 $pq$ 的非半单 Hopf 代数，其反对元为 $S$，其中 $p \le q$ 为奇素数。我们证明 $\Tr(S^{2p})=p^2d$，其中 $d \equiv pq \pmod{4}$。作为推论，若 $p,q$ 为孪生素数，则任何维数为 $pq$ 的 Hopf 代数都是半单的。