将着色对称函数映射至其图补的 Hopf 代数同态

Cho 和 van Willigenburg (arXiv:1508.07670) 以及 Alinaeifard、Wang 和 van Willgenburg (arXiv:2010.00147) 为对称函数环 $\Lambda$ 引入了乘法着色基，由一系列连通图 $G_1,G_2,\dots$ 的着色对称函数 (CSFs) 构成，其中 $G_n$ 的总权重为 $n$，并连同它们的不相交并的 CSFs。在 arXiv:1707.04058 中，Tsujie 在向量空间 $\Lambda$ 上引入了另一种环结构 $\widetilde{\Lambda}$，使得 CSFs 在联图而非不相交并上相乘。由所有带权团图的 CSFs 构成的 $\widetilde{m}_\lambda$ 基是 $\widetilde{\Lambda}$ 的乘法基，由 Penaguiao (arXiv:1803.08824) 以及 Crew 和 Spirkl (arXiv:2009.14141) 研究的完全多部图 $r_\lambda$ 基也是如此。我们证明，当且仅当起始图无边时，可以得到更多此类“共着色基”（其中起始图通过联图而非不相交并组合，因此构成 $\widetilde{\Lambda}$ 而非 $\Lambda$ 的乘法基）。我们还证明 $\widetilde{\Lambda}$ 是具有与 $\Lambda$ 相同余积的 Hopf 代数，并且由团图生成的 $\Lambda$ 的许多着色基可以通过 Hopf 代数同构 $\Lambda \to \widetilde{\Lambda}$ 映射到其相应的共着色基。我们还证明存在单一的 Hopf 代数态射，将所有无权无三角形图的 CSFs 映射到其补图的 CSFs，并给出了能否找到将某些图的 CSFs 映射到其补图 CSFs 的 Hopf 代数映射的更多条件和示例。最后，我们证明如果改用 Crew、Pechenik 和 Spirkl (arXiv:2301.02177) 定义的 Kromatic 对称函数 (KSF)，上述许多陈述的 $K$-类似物同样成立。