作为伪代数的 Gray-范畴同态

给定 Gray-范畴 $P$ 和 $L$，存在一个由以 $P$ 为定义域、$L$ 为值域的局部严格三同态、三变换、三修正和扰动构成的 Gray-范畴 $\mathrm{Tricat}_{\mathrm{ls}}(P,L)$。若定义域 $P$ 是小范畴且值域 $L$ 是余完备的，我们证明该 Gray-范畴作为 Gray-范畴同构于由源自左 Kan 扩张的 Gray-单子 $T$ 的伪代数、伪函子、变换和修正构成的 Gray-范畴 $\mathrm{Ps}$-$T$-$\mathrm{Alg}$。受二维单子理论中类似情形的启发，我们应用三维单子理论的相干性理论，证明了在 enriched 意义下的函子范畴到该局部严格三同态 Gray-范畴的包含函子具有左伴随，且该伴随单位的分量是内部双等价。这证明了任何定义域为小范畴且值域为余完备范畴的 Gray-范畴之间的局部严格三同态都双等价于一个 Gray-函子。此外，该 Gray-伴随给出了局部严格三同态与 Gray-函子之间的三变换的同态 2-范畴，与函子 Gray-范畴中相应的同态 2-范畴之间的同构。一个显著的例子是具有小定义域的局部严格 Gray-值预层。我们的结果在三维下降理论中有应用，并指向了三范畴的 Yoneda 引理方向。