嵌入分数布朗运动的同调群

一类著名的非平稳自相似时间序列是分数布朗运动（fBm），其被用于建模自然界中普遍存在的随机过程。本文研究了由合成 fBm 数据构建的高维点云数据（PCD）的同调群。对于给定的嵌入维数和时间延迟参数，我们采用时间延迟嵌入方法将模拟的 fBm 序列转换为单位 $D$ 维立方体子集上的 PCD。在持续同调（PH）的框架下，我们计算了嵌入 PCD 的拓扑度量，将其作为相关 Hurst 指数 $H$、不同嵌入维数、时间延迟以及数据集中各尺度下存在的不规则性的函数。我们的结果表明，对于规则的合成 fBm，较高的嵌入维数值会导致基于零阶和一阶同调群的拓扑度量对 $H$ 的依赖性增强。为实现对 fBm 的可靠分类，无论数据中存在何种不规则性，都应考虑较小的时间延迟值。更有趣的是，使 PCD 成为路径连通的尺度值以及无环后 regime 尺度在区分 fBm 信号时对不规则性更为鲁棒。这种鲁棒性在较高嵌入维数下会减弱。