星图有序配置空间的同调生成元与关系

我们研究星图的有序配置空间。受 Church--Ellenberg--Farb 关于流形有序配置空间的表示稳定性结果以及 An--Drummond-Cole--Knudsen 关于图的无序配置空间的边稳定性结果的启发，我们确定了具有 $k$ 个叶子的星图的有序配置空间在叶子处添加粒子时的行为。我们证明，作为组合范畴 FI$_{k, o}$ 上的模，该有序配置空间的第一同调群在 $k=3$ 时由 $4$ 个粒子有限生成，在 $k=4$ 时由 $3$ 个粒子有限生成，在 $k\ge 5$ 时由 $2$ 个粒子有限生成。此外，我们证明了同调类之间的每一个关系都可以由至多 $6$ 个粒子（当 $k=4$ 时）、至多 $5$ 个粒子（当 $k=5$ 时）、至多 $4$ 个粒子（当 $k=6$ 时）和至多 $3$ 个粒子（当 $k\ge 7$ 时）上的关系来描述，同时证明了当 $k=3$ 时，添加粒子总是会引入新的关系。这证明了图的有序配置空间的同调不存在有限的通用表示。