纽结oid的同调Casson型不变量

我们考虑了著名的Casson纽结不变量对于纽结oid的一个类比。我们从经典构造的直接类比出发，得到两个不同的整数值纽结oid不变量，然后聚焦于其同调推广。该推广的取值是第一同调群 $H_1(\Sigma)$ 的子群的形式和，其中 $\Sigma$ 是定向曲面（可能有非空边界），纽结oid图位于其中。为使该推广对球面纽结oid具有信息量，只需通过移除其端点周围的小圆盘，将 $S^2$ 中的初始纽结oid图变换为环面中的纽结oid图。作为这些不变量的应用，我们证明了两个定理：纽结oid交叉数的精确下界（该估计不同于M.Polyak与O.Viro于2001年证明的经典纽结原型），以及 $S^2$ 中纽结oid为恰当纽结oid（或依Turaev术语为纯纽结oid）的一个充分条件。最后我们给出一张表，包含对所有具有至多 $5$ 个交叉的图的球面素恰当纽结oid计算得到的我们的不变量的值。