由超椭圆曲线单值化构造双曲信号集

在本文中，我们提出一种通过 Whittaker 利用 Fuchs 微分方程（FDE）对超椭圆曲线单值化来处理匹配于群的双曲信号集设计问题的新方法。这一系统化过程包含以下步骤：1）通过将离散无记忆信道（DMC）嵌入 Riemann 面得到亏格 g；2）在 Poincar\'e 圆盘中选择一组对称点以建立超椭圆曲线；3）借助 FDE 得到单值化区域的 Fuchs 群；4）FDE 线性无关解的商给出相伴 Fuchs 群的生成元。等价地，这意味着确定一个数字信号的判决区域（Voronoi 区域）。因此取得如下结果：1）由 FDE 的解确立 Fuchs 群生成元。由于基本多边形的顶点位于单位圆盘边界，其面积（最大可能）意味着作为数字通信系统性能度量的最小符号错误概率；2）建立了镶嵌 {p,q} 的参数与超椭圆曲线次数之间的关系。已知与超椭圆曲线次数相关的 g，以及由 Whittaker 单值化过程导出的基本多边形边数 p，则由 Euler 特征得到 q 的值，对应 {4g,4g}、{4g+2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌之一。这些镶嵌因其丰富的几何与代数结构而重要，二者在经典与量子编码理论应用中均为所需。