滤过 Hirsch 代数

受环路空间上同调理论的启发，我们考虑一类特殊的高阶同伦交换微分分级代数，并为此类代数 $A$ 构造了滤过 Hirsch 模型。当 $x\in H(A)$ 具有 $\mathbb{Z}$ 系数且 $x^{2}=0$ 时，对称 Massey 积 $\langle x\rangle ^{n}$（其中 $n\geq 3$）具有有限阶（只要其有定义）。然而，若 $\Bbbk$ 是特征为零的域，则对于所有 $n$，$\langle x\rangle ^{n}$ 均有定义且在 $H(A\otimes \Bbbk )$ 中为零。若 $p$ 为奇素数，则 Kraines 公式 $\langle x\rangle ^{p}=-\beta \mathcal{P}_{1}(x)$ 可提升为 $H^{\ast }(A\otimes {\mathbb{Z}}_{p})$ 中的公式。文中还给出了多项式生成元在具有 $G$-代数结构的环路同调和高维 Hochschild 上同调中存在的应用。