Q 的子环中解的希尔伯特第十问题
摘要
Yuri Matiyasevich 定理指出，所有在非负整数中有解丢番图方程的集合不是递归的。Craig Smoryński 定理指出，所有在非负整数中至多有限个解的丢番图方程的集合不是递归可枚举的。设 R 为 Q 的一个带或不带 1 的子环。我们用 H_{10}(R) 表示如下问题：是否存在一种算法，能对任何给定的整系数丢番图方程判定该方程在 R 中是否有解。我们证明，H_{10}(R) 的可解性蕴含所有在 R 中有限个解的丢番图方程之集合是递归可枚举的。我们对每个满足如下条件的无限集 R ⊆ Q 给出逆蕴含：存在可计算函数 τ_1,τ_2: N → Z 满足 (∀ n ∈ N τ_2(n) ≠ 0) ∧ ({τ_1(n)/τ_2(n): n ∈ N}=R)。该对 R=N 的蕴含保证了 Smoryński 定理可由 Matiyasevich 定理推出。Harvey Friedman 猜想，所有具有有理解的多变量整系数多项式之集合不是递归的。Harvey Friedman 猜想，所有只有有限多个有理解的多变量整系数多项式之集合不是递归可枚举的。由我们对 R=Q 的结果可知，这两个猜想等价。
引用
@article{arxiv.1909.05021,
title = {Hilbert's 10th Problem for solutions in a subring of Q},
author = {Agnieszka Peszek and Apoloniusz Tyszka},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.05021},
year = {2019}
}
备注
presented at the Jubilee Congress for the 100th anniversary of the Polish Mathematical Society, Krakow, Poland, September 3-7, 2019. An older and longer version appeared in Scientific Annals of Computer Science, vol. 29 (1) (2019), 101-111, https://www.info.uaic.ro/en/sacs_articles/on-the-relationship-between-matiyasevichs-and-smorynskis-theorems/