Filippov 系统中的高阶横向不连续映射:分析及基于电子电路的实验验证

本文表明,在 Filippov 系统中对横向不连续映射(TDM)进行线性化,会对工作在预压软屏障附近的冲击振子动力学产生不准确的预测。这种偏差源于线性化盐跃矩阵的局限性,它无法准确预测不连续边界局部邻域内的冲击。为解决此问题,我们推导了 TDM 的高阶近似,该近似能够准确捕捉冲击的起始时刻,并与数值模拟和电子实验得到的结果高度吻合。所提出的高阶 TDM 对冲击飞行时间给出二次估计。从几何上看,仅当该二次方程的判别式为正时,实数冲击事件才有可能发生。在接近擦掠的低速冲击下,高阶飞行时间与映射估计的预测差异更为显著。随后,我们提出了高阶盐跃矩阵的数值近似,以及由此得到的用于稳定性分析的 Floquet 乘子与 Lyapunov 指数,并在一个预压、强迫、阻尼软冲击振子上进行了演示。为验证数值观察到的不连续诱导分岔,我们提出了一种模拟软机械预压振子的模拟电子电路。该无电感电路克服了典型 LCR 电路的局限性——后者虽用于设计此类振子,但无法适应低刚度比。实验获得的极限环、指状 Poincaré 截面与分岔图与高阶 TDM 的预测相吻合,从而验证了所提出的电路能够在低与高刚度比下准确建模软冲击振子。