球面上的高阶同步

我们构造了一个 $d$ 维空间中单位球面 $S^{d-1}$ 上由 $N$ 个相互作用粒子组成的系统，该系统仅具有 $d$-体相互作用。方程具有由对所有节点求和的行列式形式且含反对称系数的旋转不变势导出的梯度形式。例如，对 $d=3$，所有轨迹位于 2-球面上，势由对所有有向 2-单形求和的三重标积构造。我们详细考察 $d=3,4,5$ 的情形，发现系统从一般初值出发，对正负耦合系数均能同步至静态最终构型，其中粒子在 $S^{d-1}$ 上等间距分布。完全同步构型亦存在，但在 $d$-体相互作用下不稳定。我们通过向势中添加已被充分研究的 2-体相互作用来比较 2-体力与 $d$-体力的相对效应，发现高阶相互作用增强了系统同步：具体而言，只要 $d$-体与 2-体耦合常数任意符号，系统均同步至由等间距粒子构成的最终构型，除非吸引性 2-体力相对于 $d$-体力足够强。此时，随着 2-体耦合常数增大越过一正临界值，系统完全同步，其中 $d=3$ 为连续相变，$d=5$ 为不连续相变。即便节点具有分布的自然振荡频率，只要频率幅值不太大，即使存在单独的排斥性 2-体力会导致异步行为，同步仍会发生。