Grover 算法中退相干的更高阶微扰理论

本文中，我们使用微扰方法研究 Grover 量子搜索算法中的退相干。我们假设隶属于一个寄存器的每个二态系统（量子比特）在算法的每一步以概率 p 独立地遭受相位翻转错误（$\sigma_{z}$ 错误），其中 $0\leq p\leq 1$。考虑一个应用了 M 次 Grover 迭代操作的 n 量子比特密度算符，我们将其按 $2Mnp$ 的幂展开，并在大 n 极限下逐项推导其矩阵元。[在此大 n 极限下，我们假设 p 足够小，使得 $2Mnp$ 可取任意实非负值或零。我们取 $x\equiv 2Mnp(\geq 0)$ 作为微扰参数。] 我们得到了微扰展开中各项之间的递推关系。借助这些关系，我们高效地计算了微扰的更高阶项，从而扩展了能提供可靠分析的幂扰参数范围。用该方法数值计算矩阵元，我们推导出了算法以给定概率阈值 $P_{th}$ 或更高找到正确项时微扰参数 x 的最大值。（我们称 x 的该最大值为 $x_{c}$，即 x 的临界点。）通过对许多 $P_{th}$ 点重复此数值计算，我们得到了 $x_{c}$ 作为 $P_{th}$ 函数的曲线，并发现如下事实：所得曲线在 $P_{th}=1$ 处的切线由 $x=(8/5)(1-P_{th})$ 给出，且在 $P_{th}=0$ 附近有 $x_{c}>-(8/5)\log_{e}P_{th}$。