伴随矩阵的高阶导数与 Jordan 标准形

在这篇短文中，我们证明伴随矩阵 $\mbox{Adj}(z-A)$ 的高阶导数与矩阵 $A$ 的 Jordan 分解中的幂零矩阵和投影有关。这些关系表现为伴随矩阵的导数可分解为与特征值、幂零矩阵和投影相关的因子之积。这些新关系是利用 Riesz 投影和函数演算得到的。本文呈现的结果可视为 Thompson 和 McEnteggert 定理的推广，该定理将伴随矩阵与对称矩阵简单特征值的特征空间上的正交投影联系起来。它们也可视为 B. Parisse、M. Vaughan 先前某些结果的补充，这些结果将伴随矩阵的导数与特征值相关的不变子空间联系起来。我们的结果也可解释为一般的特向量-特征值恒等式。许多先前工作处理了特征空间上的投影与伴随矩阵导数同特征空间之间的关系，但文献中似乎未明确提及伴随矩阵高阶导数分解为涉及 Jordan 分解定理中出现的幂零矩阵与投影矩阵的矩阵乘法这一因子分解。