余切复形上的高阶 Koszul 括号

设 $n\ge 1$，$A$ 为形如 $\boldsymbol k[x_1,x_2,\dots, x_n]/I$ 的交换代数，其中 $\boldsymbol k$ 为特征 $0$ 的域，$I\subseteq \boldsymbol k[x_1,x_2,\dots, x_n]$ 为理想。假设 $S$ 上存在泊松括号 $\{\:,\:\}$ 使得 $\{I,S\}\subseteq I$，并将 $A$ 上诱导的括号也记为 $\{\:,\:\}$。众所周知，$[\mathrm d x_i,\mathrm d x_j]:=\mathrm d\{x_i,x_j\}$ 在 $A$-模 $\Omega_{A|\boldsymbol k}$（Kähler 微分模）上定义了一个李括号，使 $(A,\Omega_{A|\boldsymbol k})$ 成为李-林哈特对。回顾 $A$ 正则当且仅当 $\Omega_{A|\boldsymbol k}$ 作为 $A$-模是投射的。若 $A$ 不正则，余切复形 $\mathbb L_{A|\boldsymbol k}$ 可替代 $A$-模 $\Omega_{A|\boldsymbol k}$。我们证明 $\mathbb L_{A|\boldsymbol k}$ 上具有与李-林哈特对 $(A,\Omega_{A|\boldsymbol k})$ 相容的 $L_\infty$-代数胚结构。$\mathbb L_{A|\boldsymbol k}$ 上的 $L_\infty$-代数胚实际上源自态射 $k[x_1,x_2,\dots, x_n]\to A$ 的预解上的 $P_\infty$-代数结构。我们给出了该 $L_\infty$-代数胚简化为 dg 李代数胚的实例。出于美学考虑，我们集中于 $\boldsymbol k[x_1,x_2,\dots, x_n]$ 带有（可能非标准的）$\mathbb Z_{\ge 0}$-分次且 $I$ 与 $\{\:,\:\}$ 均为齐次的情形。