奇匹配重新配置的更高难度结果

我们研究奇匹配的重新配置问题。奇匹配是覆盖图中除一个顶点外的所有顶点的匹配。重新配置步骤（即翻转）是一种操作，将孤立顶点匹配起来，从而使另一个顶点成为孤立状态。奇匹配的翻转图是一种顶点为图中所有奇匹配、若两个顶点对应的匹配可以通过单个翻转相互转换则存在边的图。我们证明计算奇匹配翻转图的直径是 $\Pi_2^p$-hard 的。这补充了最近由 Wulf [FOCS25] 证明的：计算完美匹配翻转图的直径是~$\Pi_2^p$-hard 的，其中翻转在大小无界的单个循环上交换匹配边。进一步，我们证明计算奇匹配翻转图的半径是 $\Sigma_3^p$-hard 的。直径和半径的相应决策问题在多项式层次的相应层次中都是完备的。这表明除非多项式层次崩溃，否则计算奇匹配翻转图的半径比计算其直径更困难。最后，我们将集合覆盖问题归约到寻找最短翻转序列的问题。因此，我们证明了该问题是 $\log$-APX-hard 的，且无法通过亚对数因子进行近似。通过这种方式，我们回答了 Aichholzer、Brenner、Dorfer、Hoang、Perz、Rieck 和 Verciani [GD25] 提出的问题。