奇红二分完全匹配多面体的复杂度
数据结构与算法
2026-03-20 v1
摘要
奇红二分完全匹配问题要求在给定的红蓝边色二分图中寻找包含奇数条红边的完全匹配。虽然该问题属于 P 类，但其多面体结构仍不为人所知，尽管近期在两个互补角度上取得了进展，引起了对更好多面体理解的关注。除了是双模整数规划的一个特例，其 polyhedral 结构也不为人所知外，该问题与理论计算机科学中最著名的开放去随机化问题之一相关：是否存在一种确定性高效算法用于求解恰好包含 条红边的二分完全匹配问题，该问题至关重要地依赖于良好的多面体理解。Jia、Svensson 和 Yuan 表明，恰好二分完全匹配多面体的扩展复杂度在一般情况下是指数级的。有趣的是，他们的结果即使对于更容易的奇红二分完全匹配问题也成立。对于该问题，他们引入了一个指数级松弛方案并留下了是否存在其精确描述的开放问题。除了表明该描述不精确且分离困难外，我们更重要地表明，红奇二分完全匹配多面体具有复杂的 facet 结构：任何精确描述都需要包含具有大且多样化系数的约束。这排除了基于所有系数均为 的约束的经典松弛方案，如上述方案，表明可能需要显著偏离先前方法才能获得精确描述。更一般地，我们得到也适用于双模整数规划对应多面体具有复杂 facet 结构的结果。
引用
@article{arxiv.2603.18232,
title = {On the Complexity of the Odd-Red Bipartite Perfect Matching Polytope},
author = {Martin Nägele and Christian Nöbel and Rico Zenklusen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.18232},
year = {2026}
}