基于二次样条配置法与平均 L1 格式变阶时间分数阶流动/非流动扩散方程的高阶数值方法

本文考虑二维空间域上的变阶时间分数阶流动/非流动扩散（TF-MID）方程，其中分数阶 $\alpha(t)$ 满足 $0<\alpha_{*}\leq \alpha(t)\leq \alpha^{*}<1$。我们结合二次样条配置（QSC）方法与 $L1^+$ 公式，提出一种 QSC-$L1^+$ 格式。可证明该 QSC-$L1^+$ 格式无条件稳定，且收敛阶为 $\mathcal{O}(\tau^{\min{\{3-\alpha^*-\alpha(0),2\}}} + \Delta x^{2}+\Delta y^{2})$，其中 $\tau$、$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别为时间与空间步长。在对 $\alpha(t)$ 的适当假设下，QSC-$L1^+$ 格式即使在均匀网格上也具有二阶时间收敛阶，且对方程的解无任何限制。我们进一步构造了一种新的交替方向隐式（ADI）框架，以发展 ADI-QSC-$L1^+$ 格式，其具有相同的无条件稳定性和收敛阶。此外，基于指数和逼近（ESA）技术，提出了 ADI-QSC-$L1^+$ 格式的快速实现。并且，我们还引入了最优 QSC 方法，将空间收敛阶提升至四阶。数值实验附于文中以支持理论分析，并证明所提格式的有效性。