自由各向异性材料优化中的层次化界限：从凸松弛到Hashin-Shtrikman通过顺序全局规划

我们研究二维平面应力下的自由各向异性材料优化问题，涉及两个排列良好的各向同性相，动机源于经典自由材料优化中可接受张量与复合材料可实现张量之间的差距。为缩小这一差距，我们构建由零阶、沃伊特（Voigt）和Hashin-Shtrikman（HS）能量界限所诱导的层次化可接受集合，从凸松弛模型逐步转向更紧的非凸模型。在凸零阶和沃伊特情形下，沃伊特集合在中间体积分数处严格更紧，在纯相端点处与零阶集合重合，且沃伊特模型化简为各向同性可变厚度薄片模型。在单负载情形下的零阶问题中，至少存在一个最优解为各向异性。对于HS约束，我们将界限表述为沃伊特项减去非负校正项，阐明了在内部体积分数处的严格紧化及局部非凸性。我们进一步证明了HS可行集合的凸包等价于沃伊特集合，并通过主约束分析及显式元素级体积分数表征推导简化形式，其中包括针对各向异性有效张量的专门化简。在单负载情形下的连续体设置中，HS松弛与Allaire--Kohn松弛问题相吻合，通过顺序层合物以松弛意义实现；而在一般多负载情形下，它提供了相对于一般微结构的最优合成性的下界。所得非凸各向异性HS问题通过顺序全局规划求解，数值结果验证了预测的合成性层次结构，并与有限秩层合参考结果一致。