享乐博弈与树宽问题的再审视

我们重新审视了被广泛研究的加性可分离享乐博弈（ASHGs）概念的复杂性。此类博弈建模了一个基本的聚类或联盟形成场景，其中自私智能体由边加权有向图$G=(V,E)$的顶点表示，弧$uv$的权重表示$u$与$v$处于同一联盟时所获得的效用。我们关注关于此类博弈（可以说）最基本的稳定性问题：给定图，是否存在纳什稳定解，且我们能否高效找到它？我们研究了当底层图具有树宽$t$和最大度$\Delta$时ASHG稳定性的（参数化）复杂性。针对此情况当前最佳的FPT算法由Peters [AAAI 2016]提出，时间复杂度约为$2^{O(\Delta^5t)}$。我们提出了一种参数依赖为$(\Delta t)^{O(\Delta t)}$的算法，相较于Peters给出的对$\Delta$的参数依赖有显著改进，尽管对$t$的依赖略差。我们的主要结果是，这种相对于$t$的轻微性能退化实际上是完全合理的：我们注意到先前声称的算法是不正确的，并且事实上对于任何有界度图，除非ETH失败，否则任何算法都无法实现对$t$的$t^{o(t)}$依赖。这一点，连同我们就对$\Delta$的依赖以及联合参数所提供的相应界限，确立了我们的算法在ETH下对两个参数本质上是最优的。随后我们重新审视仅以树宽为参数的情形，并通过证明在加性偏好下纳什稳定性在星图上仍是强NP难的，解决了Peters也提出的一个问题。尽管如此，我们也发现了一片温和可处理的孤岛：我们证明连通纳什稳定性在常数$t$下可在伪多项式时间内求解，尽管对$t$具有XP依赖，且正如我们所确立的，这种依赖无法避免。