堆与两种指数结构

设 ${\sf Q}=({\sf Q}_1,{\sf Q}_2,\ldots)$ 为一个指数结构，$M(n)$ 为 ${\sf Q}_n$ 中极小元的数量，其中 $M(0)=1$。则由方程 \begin{eqnarray*} \sum_{n\ge 1}r_n({\sf Q}_n)\frac{z^n}{n!\,M(n)}=-\log(\sum_{n\ge 0}(-1)^n\frac{z^n}{n!\,M(n)}). \end{eqnarray*} 定义数字序列 $\{r_n({\sf Q}_n)\}_{n\ge 1}$。令 $\bar{{\sf Q}}_n$ 表示附加了 $\hat{0}$ 的偏序集 ${\sf Q}_n$，并令 $\hat{1}$ 表示偏序集 ${\sf Q}_n$ 中唯一的极大元。此外，令 $\mu_{{\sf Q}_n}$ 为偏序集 $\bar{{\sf Q}}_n$ 上的 M\"{o}bius 函数。Stanley 证明了 $r_n({\sf Q}_n)=(-1)^n\mu_{{\sf Q}_n}(\hat{0},\hat{1})$。这意味着数字 $r_n({\sf Q}_n)$ 是整数。在本文中，我们研究了 ${\sf Q}_n=\Pi_n^{(r)}$ 和 ${\sf Q}_n={\sf Q}_n^{(r)}$ 的情况，其中 $\Pi_n^{(r)}$ 和 ${\sf Q}_n^{(r)}$ 分别是块大小可被 $r$ 整除的 $[rn]$ 集合划分的偏序集和 $[n]$ 的 $r$-划分的偏序集。在这两种情况下，我们通过应用 Cartier-Foata 幺半群恒等式证明了 $r_n(\Pi_n^{(r)})$ 和 $r_n({\sf Q}_n^{(r)})$ 枚举了金字塔，并进一步通过双射证明了 $r_n(\Pi_n^{(r)})$ 是广义欧拉数 $E_{rn-1}$，且 $r_n({\sf Q}_n^{(2)})$ 是大小为 $2n-1$ 的完全非歧义树的数量。这为 Welker 定理 $r_n(\Pi_n^{(r)})=E_{rn-1}$ 提供了新的证明，并暗示了 $r$ 维完全非歧义树的构造。作为应用堆理论的一个额外收获，我们在完全非歧义森林集合与没有共同上升的排列对集合之间建立了一个双射。这回答了 Aval {\it et al.} 提出的一个开放问题。