线性差分时滞方程近似与精确能控性的 Hautus–Yamamoto 判据

本文研究有限维线性差分时滞方程的能控性，即给定时刻 $t$ 的状态由时刻 $t$ 的控制以及有限个先前时刻 $t-\Lambda_1,\dots,t-\Lambda_N$ 的状态的线性组合得到。基于 Y.Yamamoto 针对一般无限维动力系统建立的实现理论，我们得到了在 $L^q$ 空间（$q \in [1, +\infty)$）中有限时间近似能控性的频域充要条件。我们还给出了 $L^1$ 精确能控性的必要条件，可视为 $L^1$ 近似能控性判据的闭包。此外，我们给出了近似与精确能控性最小时间的显式上界 $d\max\{\Lambda_1,\dots,\Lambda_N\}$，其中 $d$ 为状态空间的维数。