谐和图回归：在流形上实现率最优的非参数估计及其拓扑恢复

我们研究谐和图回归（harmonic map regression），这是一种用于流形值响应的非参数估计器，通过对经验费希特风险施加 Dirichlet 能量进行惩罚。通过将惩罚回归与谐和图理论联系，估计器获得与经典欧几里得平滑样条平行的结构理论。欧拉-拉格range 方程刻画了解为分段测地线样条的解，等效核在点处控制风险以 $n^{-2/3}$ 的速率，而无限维变分问题恰好简化为有限维优化。这种新建立的联系揭示了一种在欧几里得非参数回归中不存在的拓扑现象，据我们所知，这在流形回归文献中尚未被研究。对于那些回归曲线可围绕拓扑不同方式包裹的流形，属于不同同伦类的图之间受目标上几何固有的能量障碍隔离，Dirichlet 惩罚使估计器对这一结构敏感，能够以概率趋于一的方式恢复正确的拓扑类别，这一相变我们称为拓扑恢复。一种曲率依赖的信噪比不等式给出souvel order $s$ 下的 minimax 率 $n^{-2s/(2s+1)}$，在非正曲率目标上匹配欧几里得常数，而五个几何阻挡显示，完整的结构理论独特于 Dirichlet 能量（$s=1$）。$S^2$、$\mathbb{H}^2$、$SO(3)$、$\mathrm{Sym}^+(2)$ 和 $T^2$ 上的仿真印证了该理论，$S^1$ 上风向数据的应用说明了实际优势。