在锥面上消失的调和函数

设 $Z$ 为 $\mathbb{R}^{3}$ 中的二次调和锥。我们考虑在 $Z$ 上消失的所有调和函数构成的族 $\mathcal{H}(Z)$。$\mathcal{H}(Z)$ 是有限维还是无限维的？该问题的某些方面可追溯至 19 世纪。据我们所知，对于任何非退化二次调和锥，该问题的答案均属未知。在本文中，我们研究右圆形调和锥，并给出证据表明在其上消失的调和函数族可能是有限维的，这或许令人惊讶。我们引入一种算术方法来处理该问题，该方法推广了 Holt 和 Ille 的思想，并令人联想到 Hensel 引理。