$C^*$-张量范畴中的单倍代数与 Schellekens 列表

我们证明，$C^*$-张量范畴 $\mathcal{C}$ 中的单倍结合代数等价于 $\mathcal{C}$ 中的 Q-系统（一种特殊的 $C^*$-Frobenius 代数）当且仅当它是刚性的。这使我们能够证明所有 70 个中心电荷 $c=24$ 且权一子空间非零的强有理全纯顶点算子代数的酉性，它们对应于所谓的 Schellekens 列表的第 1-70 项。此外，利用这些顶点算子代数最近的广义深洞构造，我们证明它们在 Carpi、Kawahigashi、Longo 和 Weiner 意义下也是强局部的，从而我们得到了与该列表各项相关的一些新全纯共形网。最后，基于相应的超共形网已知的分类结果，我们完全分类了中心电荷分别小于 $\frac{3}{2}$ 和小于 $3$ 的酉 $N=1$ 与 $N=2$ 超-Virasoro 顶点算子超代数的简单 CFT 型顶点算子超代数扩张。