$q$-形变金属数的 Hankel 连分式与 Hankel 行列式

固定一个正整数 $n$。取第 $n$ 个金属数 $\phi_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$（例如 $\phi_1$ 是黄金数），并令 $\Phi_n(q)$ 为其在 S. Morier-Genoud 和 V. Ovsienko 意义下的 $q$-形变。这是一个代数连分式，允许在 $q=0$ 附近展开为具有整数系数的泰勒级数。通过使用第一作者在 2016 年引入的 Hankel 连分式概念，我们显式地确定了 $\Phi_n$ 的前 $n+2$ 个移位 Hankel 行列式序列，并证明它们满足以下性质：1) 它们是周期的，且仅由 $-1,0,1$ 组成。2) 它们满足一个三项 Gale-Robinson 递推关系，即它们构成离散可积动力系统。3) 它们完全由第一个序列决定。因此，本文验证了 V. Ovsienko 和第二作者在最近一篇论文中提出的一个猜想，并在实数的 $q$-形变与 Catalan 数或 Motzkin 数序列之间建立了新的联系。